matemáticas 3y4: 2015

domingo, 7 de junio de 2015

CONCEPTOS DE LA LEY DE SENOS Y DE LA DE LOS COSENOS

La ley de seno es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera. En ocasiones necesitarás resolver ejercicios que envuelven triángulos que no son rectángulos. La ley del Seno y la del coseno son muy convenientes para resolver problemas de triángulos en los que no hay ningún ángulo rectángulo como los discutidos en la sección de trigonometría básica.

La ley del seno nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante.

La ley del seno se escribirá como sigue:

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometria

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

$c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\gamma)$

La ley de los cosenos también puede establecerse como

b² = a² + c² – 2accos B or

a² = b² + c² – 2bccos A.

PROBLEMAS DE LEY DE SENOS Y COSENOS

ley de senos

a) Resuelva el triángulo ángulo A=40°, ángulo B=60° y lado a=4cmResolver un triángulo (ALA)

b) Resuelva el triángulo ángulo A=35°, ángulo B=15° y lado c=5

c) Resuelva el triángulo lado a=3, lado b=2, y ángulo A=40°

ley de cosenos

d) Resuelva el triángulo lado a=2, lado b= 3 y ángulo C=60°

e) Resuelva el triángulo de lado a=4, lado b=3, y lado c= 6.

CONCEPTOS DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Definiciones:

Las medidas de tendencia central son valores que se ubican al centro de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. Generalmente se utilizan 4 de estos valores también conocidos como estadigrafos, la media aritmética, la mediana, la moda y al rango medio.

La media aritmética es la medida de posición utilizada con más frecuencia. Si se tienen n valores de observaciones, la media aritmética es la suma de todos y caca uno de los valores dividida entre el total de valores: Lo que indica que puede ser afectada por los valores extremos, por lo que puede dar una imagen distorcionada de la información de los datos.

La Mediana, es el valor que ocupa la posición central en un conjunto de datos, que deben estar ordenados, de esta manera la mitad de las observaciones es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana, resulta muy apropiada cuando se poseen observaciones extremas.

La Moda es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor frecuencia. No depende de valores extremos, pero es más variables que la media y la mediana.

Rango Medio es la media de las observaciones menor y mayor. como intervienen solamente estas observaciones, si hay valores extremos, se distorsiona como medida de posición, pero

ofrece un valor adecuado, rápido y sencillo para resumir al conjunto de datos.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1.- Las notas de un estudiante en seis exámenes fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78.
Hallar la media aritmética y la Mediana.

2.- Diez medidas del diámetro de un cilindro fueron anotadas por un científico como 3.88, 4.09, 3.92, 3.97, 4.02, 3.95, 4.03, 3.92, 3.98 y 4.06 cm.
Hallar la media aritmética de tales medidas

3.- Los salarios anuales de 4 individuos son 15,000, 16,000, 16,500, y 40,000
A) Hallar su media aritmética
B) ¿Puede decirse que ese promedio es típico de esos salarios?

4.- De entre 100 números, 20 son cuatros, 40 son 5, 30 son seis y los restantes son sietes.
Hallar su media aritmética y su Moda.

5.- De los 80 empleados de una empresa, 60 cobran 7,00 a la hora y el resto 4,00 a la hora.
A) Hallar cuánto cobran de media por hora.
B) ¿Sería idéntica la respuesta si los 60 cobraran de media 4,00 a la hora?

CONCEPTO DE MEDIDAS DE DISPERSION

Medidas de dispersión. Parámetros estadísticos que indican como se alejan los datos respecto de la media aritmética. Sirven como indicador de la variabilidad de los datos. Las medidas de dispersión más utilizadas son el rango, la desviación estándar y la varianza

Rango

Indica la dispersión entre los valores extremos de una variable. se calcula como la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. Se denota como R.

Para datos ordenados se calcula como:

R = x(n) - x(1)

Donde: x(n): Es el mayor valor de la variable. x(n): Es el menor valor de la variable.

Desviación media

Es la media aritmética de los valores absolutos de las diferencias de cada dato respecto a la media.

Donde:

xi:valores de la variable.

n: número total de datos

Desviación estándar

La desviación estándar mide el grado de disersión de los datos con respecto a la media, se denota como s para una muestra o como σ para la población. Se define como la raiz cuadrada de la varianza según la expresión:

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Obsérvese que el denominador es n - 1, a diferencia de la desviación media donde se divide entre n; también existe la formula de desviación típica donde el denominador es n pero se prefiere n-1.

Mientras menor sea la desviación estándar, los datos son más homogéneos, es decir existe menor dispersión, el incremento de los valores de la desviación estándar indica ina mayor variabilidad de los datos.

Varianza

Es otro parámetro utilizado para medir la dispersión de los valores de una variable respecto a la media. Corresponde a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Su expresión matemática es:

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Coeficiente de Variación

Permite determinar la razón existente entre la desviación estándar (s) y la media. Se denota como CV. El coeficiente de variación permite decidir con mayor claridad sobre la dispersión de los datos.

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También puede ser expresado en por ciento.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS MEDIDAS DE DISPERCION

Ejercicio 1.

Dada la muestra 10, 3, 9, 6, 8, 11, 7 y 2: encuentra la media, la mediana, el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación.

Ejercicio 2.

Dada la siguiente muestra de 20 medidas

15	9	19	7	2	9	6	1	11	9
3	4	0	8	4	21	1	-7	8	7

a) Construye un diagrama de puntos

b) Encuentra la media, la mediana, la varianza y la desviación estándar.

Ejercicio 3.

Una muestra de los recibos de ventas semanales para un bar está en miles de pesos y se presenta a continuación:

36.9

13.3

43.5

10.2

44.2

20.5

47.6 Al ver estos resultados, los dueños implementan un programa publicitario diseñado para “emparejar” las ventas. Después de haber puesto en marcha el programa publicitario, se vuelve a tomar otra muestra y los resultados son los siguientes:

44.9

43.5

38.7

45.1

25.6

38.1 ¿La campaña publicitaria logró su objetivo?

Ejercicio 4.

Adolfo Sánchez compró 15 acciones a $12 cada una; 26 acciones a $35 cada una; 100 acciones a $30 cada una y 75 acciones a $35 cada una.

a) ¿Cuál es el monto total de su inversión?

b) ¿Cuál es el precio promedio por acción?

Ejercicio 5.

Anabel Miranda utiliza dos máquinas diferentes para producir papeleras para las fotocopiadoras Mita. Una muestra de las papeleras de la primera máquina midieron 12.9, 12.2, 12.7, 12.3, 11.8, 11.2, 11.5 y 11.2 pulgadas. Las bandejas elaboradas con la segunda máquina midieron 12.9, 12.8, 12.6, 11.1, 11.5, 11.8, y 11.6 pulgadas. Anabel debe utilizar la máquina con la mayor consistencia en los tamaños de las papeleras. ¿Cuál máquina debe utilizar?

Ejercicio 6.

Los siguientes datos de muestras se han obtenido para el número de clientes diarios de la florería “El Tulipán negro”: 25, 38, 20, 48, 29, 32, 24, 50. Calcula la varianza, la desviación estándar y el rango.

Ejercicio 7.

La siguiente es una muestra de las ganancias por acción en dólares, para las acciones cotizadas en la bolsa de valores de Nueva York:

1.73

1.06

1.53 -2.80

2.59 -2.27

Considera que una cantidad negativa no es una ganancia, sino una pérdida. Calcula la varianza, la desviación estándar y el rango.

Ejercicio 8.

Las horas trabajadas por un empleado cada semana durante los dos últimos meses son:

14

37

60

52

21

49

37

18 Asumiendo que estos son datos muestrales, calcula

a) La media

b) La mediana

c) La moda

d) Para este caso ¿cuál medida consideras que representa mejor el punto central?

Ejercicio 9.

Utilizando las horas trabajadas por el empleado en el ejercicio anterior, calcula e interpreta.

a) El rango

b) La varianza

c) La desviación estándar

d) El primer cuartil

e) El percentil 25

Ejercicio 10.

Dados los siguientes puntajes de 9 pruebas para la clase de estadística, calcula el coeficiente de variación. Asume que son datos muestrales.

85

76

97

70

62

81

87

66

95

CRITERIOS Y REGLAS DE PROBABILIDAD

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

REGLA DE ADICIÓN:

Establece que si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la probabilidad de que uno u otro evento ocurra es igual a la suma de sus probabilidades. De lo anterior se puede deducir que la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que no ocurra A debe sumar 1. A esto se le llama la regla del complemento. Esta regla establece que para determinar la probabilidad de que ocurra un evento se puede restar de 1 la probabilidad de que no ocurra.La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a: P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) si A y B son no excluyentes Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B .

REGLA DE MULTIPLICACIÓN:

La regla de multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes. Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de una no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. La regla especial se escribe: P(A y B) = P(A) * P(B). Existen dos acepciones de esta regla:

1) Si los eventos de independientes:

P(A y B ) = P( A ∩ B ) = P(A)P(B)

2) Si los eventos son dependientes:

Es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad condicional de B dado A.

P(A y B) = P(A)P(B|A)

PROBABILIDAD CONDICIONAL: La probabilidad de que un evento